Questão 11 — ITA 2025 (Matemática)
Prova oficial ITA 2025 · 1a fase - Objetiva
Seja H uma hipérbole cujos focos são comuns aos focos da elipse E: x²/4 + y² = 1. Seja P um ponto de intersecção de E e H no primeiro quadrante e O a origem. Sabendo que OP forma um ângulo θ com o eixo Ox, com tan(θ) = √3/6, a excentricidade de H é:
- A)2√3/3
- B)√6/2
- C)3√3/4
- D)2√6/3
- E)3√3/2
Ver gabarito e resolução
Gabarito: Alternativa A — 2√3/3
Resolução passo a passo
- A elipse x²/4 + y² = 1 tem c² = 4 − 1 = 3, focos (±√3, 0); a hipérbole tem os mesmos focos, logo c = √3.
- Localiza-se P (1º quadrante) na direção tan θ = √3/6 sobre a elipse e usa-se |PF₁ − PF₂| = 2·a_H.
- Disso a_H = 3/2 e a excentricidade e = c / a_H = √3 ÷ (3/2) = 2√3/3. ✔️ (A)